Sizing y Kelly. Parte I: El Peso de Cada Apuesta

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Este blog está enfocado en opciones financieras, un instrumento complejo que conlleva riesgos significativos por su apalancamiento inherente. La formación en Opciones es fundamental para entender y utilizar esta herramienta de manera responsable. Recomendamos encarecidamente que te formes en en Opciones Financieras antes de operar con ellas. La más práctico es siempre tener unos conocimientos sólidos.

Introducción

Este artículo aspira a tratar con el máximo rigor una sola pregunta: cuánto arriesgar en cada apuesta dentro de una cartera de inversión, sea cual sea su tamaño. Y esa ambición tiene una consecuencia: me ha salido un artículo muy extenso. Para el lector va a ser demasiado para una sola entrega, no quiero cansarte con muchos datos y más autores de los que se pueden digerir de una sentada (y el tema me exige citar a unos cuantos). Así que he decidido dividir el artículo en dos. Esto que lees ahora es la primera parte.

Antes de empezar, te recomiendo la lectura de dos artículos previos: La importancia del no hacer nada y Las tres mesas del mismo juego. En ellos desarrollo, creo que con cierta profundidad, el concepto de Esperanza Matemática. Sobre este concepto se construye estos nuevos artículos.

En esta primera parte veremos la esperanza matemática y, sobre todo, sus problemas, hasta llegar al criterio de Kelly. Y cómo usarlo. El tema central.

En la segunda, que publicaremos en un par de semanas, las controversias y críticas a Kelly, la aplicación a las Opciones Financieras, cómo se dimensionan la concavidad y la convexidad, y qué ocurre con el tamaño de la apuesta cuando cambia el tamaño de la propia cartera.

Espero que os resulten interesantes.

Sin más, te dejo con la primera parte.

La Moneda

En esta ocasión no voy a hablar de romanos. Voy a ofrecerte una apuesta: tienes 100€, lanzo una moneda, si sale cara, ganas el 50% de lo que tengas en ese momento. Si sale cruz, pierdes el 40%. Y no vamos a jugar una vez. Jugaremos muchas veces, una tirada detrás de otra, reinvirtiendo siempre todo lo que lleves hasta ese momento.

Casi todo el mundo aceptaría esta oferta. Y tiene un motivo aparentemente bueno para decirlo. Hagamos la cuenta con la Esperanza maetmática. Exactamente la mísma que defendía en La importancia del no hacer nada. En resumen, en cada tirada, la mitad de las veces multiplicamos el dinero por 1,5 y la otra mitad por 0,6.

Esto es un +5% esperado por cada lanzamiento. Con ese número deberíamos querer jugar hasta que nos echen del casino. Por cada tirada, de promedio, nos hacemos un 5% más rico. Repetir constantemente una apuesta con esperanza matemática positiva es, según lo que hemos predicado en los artículos anteriores, lo que hay que hacer.

Pues bien: si aceptas la apuesta y la repites, casi seguro que te arruines. Con una probabilidad cercana a la certeza. Luego dirás “qué mala suerte he tenido”, pero no es mala suerte, es que te arruinas casi seguro.

El +5% es verdad. Ahí está la trampa. El +5% describe algo que a ti no te va a pasar seguro. El +5% describe el promedio del conjunto de lo que obtendrían miles de personas jugando al mismo tiempo y sumáramos el bote conjunto de una tirada. En ese experimento, un puñado de afortunados encadena caras, se dispara, y tira de la media hacia arriba para todos los demás. La media del grupo sube un 5%. Pero tú no eres mil personas jugando una vez. Eres una única persona jugando mil veces, y ese es un experimento matemático completamente distinto.

Lo que le ocurre a un individuo a lo largo del tiempo no lo explica la media aritmética, lo explica la media geométrica. Los resultados no se suman, se multiplican unos sobre los anteriores. La media correcta es:

En la práctica, una tirada tras otra tirada se va a multiplicar por 0,949 de media. Pierdes en torno a un 5% cada vez. Componiendo lentamente hacia cero como asíntota.

Si lo comparamos con las desviaciones del conjunto de miles de personas, unos pocos van a ganar mucho que van a elevar el resultado global. Pero si tomamos a uno de ellos y repetimos el resultado (casi seguro) que resulte perdiendo dinero por el compounding de la apuesta.

Esta contradicción, que el promedio suba, mientras la inmensa mayoría tienden a perder dinero es lo que los físicos llaman “que el sistema no es ergódico”: el promedio en el tiempo (tu experiencia real) no coincide con el promedio entre jugadores (la estadística teórica). Existe trabajo reciente sobre este tema de Ole Peters, pero la intución de que esto es así es antiquísima.

En 1738, Daniel Bernoulli, ya se dio cuenta de que una apuesta de valor esperado infinito no tentaba a nadie a apostar una gran fortuna por ella. Su conclusión, con casi tres siglos de antelación a Ole Peters, fue que lo que un individuo maximiza no es el dinero esperado, sino algo parecido a “su logaritmo”. Y “su logaritmo” es, precisamente, cambiar medias aritméticas en medias geométricas.

Llegados aquí hay que hacer un checkpoint. Si el lector trabajara un rato el texto hasta ahora y lo comprabara con ejemplos reales, se daría cuenta de que la pregunta correcta no es “¿juego a esta apuesta?”, la pregunta correcta es “¿cuánto de mi dinero pongo en cada tirada?”

Porque (y aquí está la clave de todo el artículo) el problema no es la apuesta individual. El problema es apostar TODO en cada tirada. Esa misma apuesta, esa misma esperanza positiva, con un tamaño distinto, deja de ser una trituradora y se convierte en una máquina de componer.

Eso se llama position sizing.

En mi opinión no es algo opcional. Es una estrategia que hace que el resto de estrategias funcionen como un engranaje. Es la clave que (probablemente) decida si tu ventaja te enriquece o te entierra. Y en Opciones, donde el apalancamiento está vinculado al instrumento, no se perdona un despiste.

Sobrevivir para cobrar la esperanza

En la importancia del no hacer nada defendimos que una buena inversión se define a priori por su Esperanza Matemática, y no a posteriori por el resultado. Lo sigo manteniendo. Son los cimientos sobre los que nos mantenemos. Tener, de base, una esperanza matemática positiva es lo que separa al inversor del dominguero que “juega” a la bolsa. Pero es una moneda que es solo el 50% del teorema: tener esperanza postiva es condición necesaria, pero no suficiente.

Es necesaria porque sin ventaja no hay nada que dimensionar. Ningún tamaño salva una apuesta perdedora. Si asignamos un 5%, ese 5% se irá a cero. Solo graduaremos la velocidad a la que perdemos dinero. Pero solo la esperanza matemática te dice que si merece la pensa seguir la idea. El “sizing” te dice cuánto puedes poner encima de la mesa sin que te echen de la ruleta antes de que tu ventaja tenga tiempo a mostrarse.

El tiempo para que la Esperanza Matemática de la cara es la clave. Una ventaja estadística no es un hecho cierto, es una tendencia que emerge cuando hay muchas repeticiones. Por la ley de los grandes números.

Creo recordar que en el libro Market Wizards, alguien decía “Coge a un señor de sesenta años y no tienes ni idea de si estará vivo dentro de un año. Pero coge a cien mil señores de sesenta años y podrás estimar con enorme precisión cuántos seguirán vivos.” Esa es la ley de los grandes números.

El Opcionero que vende primas es, ya lo hemos dicho hasta la saciedad, un asegurador: pone precio a la incertidumbre y ofrece contrapartidas donde otros la necesitan. Y como todas las aseguradoras, solo gana dinero si contrata muchas pólizas pero ninguna que pueda quebrar la compañía entera.

Ahí está el pensamiento de los Opcioneros:

• La esperanza positiva te da Opciones rentables.
• El sizing te asegura que sigues en el juego el tiempo suficiente para sacarla del estadio eventualmente.

Rompe una de estas dos reglas y el negocio se nos cae. Sin ventaja vamos a perder a largo plazo. Sin control del tamaño en una mala que tengamos nos van a sacar del jeugo.

Las artiméticas de la ruina

Antes de hablar de fórmulas hay que interiorizar que el concepto “ruina” no es solo una cuestión psicológica ni moral, es un concepto aritmético-matemático. Por esto es un concepto, que en mi opinión, debería pesar mucho más que la ganancia equivalente.

Dicho de otro modo, los porcentajes de ganancia y de pérdidas no son simétricos en bolsa. Aunque el lenguaje que comunmente utilizamos lo hagan semejantes y por eso es engañoso. Por ejemplo: si perdemos un 10% de nuestro capital, para recuperar donde estábamos no necesitamos recuperar un 10%, necesitamos un 11,10%. Esta pequeña cantidad de diferencia puede ser anecdótica y que es manejable, el problema es que esta asimetría se acelera brutalmente:

• Si caes un 25%: necesitas un +33% para recuperarte.
• Si caes un 50%: necesitas un +100%. Un bagger para volver al punto de partida.
• Si caes un 80%: necesitas un +400%. Cuatro baggers para volver al punto inicial. Esto ya es una pérdida permanente o técnicas kamikazes para recuperarnos.

Dicho de otra forma para que se entienda aún mejor:

Un drawdown del 50% no es “el doble de malo” que uno del 25%. Es mucho, mucho peor, porque el esfuerzo de recuperación crece de forma no lineal. Un drawdown del 50% es 3 veces peor que uno del 25%.

Esta es la razón matemática de porque el riesgo de ruina hay que evitarlo a toda costa. Y no un consejo del abuelo cebolleta prudente. Por esto Warren Buffett dice que la que la primera regla es no perder dinero.

Volviendo al principio del artículo, la media aritmética te está mintiendo y la media geométrica te está revelando esta mentira. El rendimiento del portfolio viene explicado por medias geométricas. Es decir, un retorno de un año de un -60% tira a la basura todo el trabajo realizado por muchos años de +8% consistentes. Es un mundo multiplicativo y aproximarnos al cero es aproximarnos a un agujero negro. Como en Interstellar todo lo que nos aproximamos vamos a terminar disueltos.

Volvamos por un momento al inicio para poner números encima de la mesa. Dijimos que el problema con la apuesta de la moneda no era la apuesta en si, sino el total apostado, por tanto: ¿y si en lugar de arriesgar el 100% del capital en cada una de las tiradas arriesgas solo una fracción (f)? Tu factor de crecimiento por ronda pasa a ser, la mitad de las veces:

y la otra mitad de las veces:

Ahora debemos buscar f (la fracción) que maximice nuestro crecimiento geométrico a largo plazo (haciendo un poco de cálculo) el resultado me sale en:

La fracción es un 25%. Con esa fracción, la misma moneda que nos arruinaba componiendo al 0,949 por ronda ahora nos compone a favor: alrededor de un +0,6% por tirada, de forma sostenida, hacia arriba. Y todo lo demás sigue constante: La misma apuesta. La misma esperanza. Pero un tamaño distinto. La diferencia entre las dos versiones no es que no hay un agujero negro que nos lleva a cero cada vez que nos acercamos.

Si tuviera que resumir el artículo entero en un párrafo sería el siguiente:

No existen las “apuestas buenas” y las “apuestas malas”, así tal cual. Existen las apuestas buenas si etán bien dimensionadas (que es una idea de negocio) y las apuestas mal dimensionadas (que al incluir lo que yo llamo “el agujero negro”, el cero absoluto que cada vez que nos aproximamos nos absorve completamente) tiende a ser un suicidio a largo plazo que aparentemente era buena idea. Por tanto y en definitiva por este razonamiento que llevo durante todo el artículo: el tamaño no modula el resultado sino que lo determina.

Si cambiamos el tamaño del 100% (tendemos a largo plazo a cero) al 25% (tendemos a largo plazo a infinito).

Hasta este punto hemos construido la parte teórica, a partir de ahora construiremos una parte más práctica. Porque probablemente os estéis preguntando cómo lo aterrizamos (la fracción) a nuestras carteras individuales y sobre todo al mundo de las Opciones Financieras. Lo vamos a hacer usando un instrumento llamado el criterio de Kelly.

El Criterio de Kelly

En 1956, un físico llamado John Kelly publicó un paper con un título un poco prometedor: A New Interpretation of Information Rate. El artículo está enfocado en otro problemática, pero resolvía el llamado “problema del apostador”: dada una ventaja determinada, ¿qué fracción del capital hay que arriesgar en cada apuesta para maximizar la tasa de crecimiento a largo plazo?

Su fórmula, en la versión clásica de una apuesta binaria (50%) es así de sencilla:

Donde:

• p es la probabilidad de ganar,
• q = 1 − p la de perder,
• y b las ganancias netas que recibes por unidad apostada si aciertas.

Interpretando la fórmula, lo que dice es que apostemos más cuanto mayor sea nuestra ventaja (bp − q), el numerador. En realidad este numerador es la Esperanza Matemática.

Y debemos apostar menos cuanto menos sea la relación de pago (b, el denominador).

En su forma contínua, aplicable a activos, esto se aproxima a que la fracción Óptima es proporcional al edge dividido por la varianza:

Más ventaja, implica más tamaño; más varianza, menos tamaño.

Esta fórmula no maximiza tu ganancia esperada en el próximo trade (eso simplemente sería apostar el 100% y ya hemos explicado como acaba). Maximiza el crecimiento geométrico del capital con el tiempo.

Aquí funcionó el conocimiento “compounding” de la humanidad: Bernoulli aproximó la idea en 1738, Kelly le puso los números en 1956 y Peters ha formalizado en 2025 con su “Ergodicity Economics”.

Y ahora la mala noticia: Kelly de forma ortodoxa y completa casi siempre demasiado complicado de llevar a la práctica.

Kelly maximiza el crecimiento a largo plazo asumiendo que conoces p y b con exactitud. En un casino, con una carta contada y variables finitas, si las puedes conocer. En los mercados, no tienes ni idea.

Tu p es una estimación con error, tu b depende de una distribución de retornos con colas más gordas de lo que cualquier modelo asume (las distribuciones de cola gruesa son también tema para un artículo aparte, o dos). Y la fórmula de Kelly es restrictivo con el error: si sobreestimas tu ventaja, no apuestas, porque vas a tener drawdowns que ni el más templado aguanta.

Incluso jugando a Kelly de forma exacta, las oscilaciones son brutales. La fórmula te promete el mayor crecimiento a largo plazo, pero por el camino te hace atravesar caídas de hasta dos tercios del capital como parte del plan óptimo. Nadie que gestione dinero real sobrevive psicológicamente a eso.

Por eso, quien de verdad ha llevado a Kelly a los mercados lo ha hecho siempre fraccionado. Edward Thorp (el matemático que desbancó el blackjack (Beat the Dealer, 1962) y después montó un hedge fund que aplicaba estas mismas ideas a los mercados cotizados (Beat the Market, y su famoso ensayo posterior sobre el criterio de Kelly) es el gran divulgador de esta idea. Thorp defiende operar a una fracción de Kelly, típicamente la mitad (el lo llama “half-Kelly”) o menos.

¿Por qué media? Porque el crecimiento como función de la fracción es una curva plana en su cima: al pasar de 1 Kelly a 1/2 Kelly sacrificas solo alrededor de una cuarta parte de tu tasa de crecimiento, pero reduces la volatilidad a la mitad (la varianza también una cuarta parte). Pero suavizas los drawdowns de forma dramática. Cambias un poco de rentabilidad teórica por mucha supervivencia y mucho sueño.

Claro, esto lo combinas con que nuestras estimaciones en el mundo real son aproximadas e imperfectas, esa reducción de Kellys no es prudencia es que debe ser así. Es matemática.

Creo que hasta aquí ha sido suficientes datos por este artículo. No quiero embotaros la cabeza y vamos a dejar el resto para el siguiente. En el siguiente veremos:

Ejemplos prácticos y Controversias a Kelly.

Práctica a las Opciones Financieras.

Como tratar la Concavidad y la Convexidad.

Recálculo al cambiar el tamaño de la cartera.

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